Практ. занятие 1. Сент. 2020. Понятие о натуральном числе как об общем свойстве класса конечных равномощных множеств

04-10-2020 Практические занятия

1. Понятие о натуральном числе как об общем свойстве класса конечных равномощных множеств. 2. Теоретико-множественный подход к понятию целого неотрицательного числа (количественная теория).

Вопросы на повторение

1. Собственным подмножеством множества А называется ...

Определение. У любого множества есть обязательно хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.

2. Множество называется конечным, если ...

Определение. Множество называется конечным, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

3. Для конечных множеств вместо термина «равномощные» употребляют термин ...

равночисленные

Определение 3.1. Множество называется конечным, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству.

Отношение равномощности (равночисленности) на множестве всех конечных множеств, очевидно, обладает свойствами:

А ~ А – рефлексивности;

А ~ В => В ~ А – симметричности;

А ~ В ∧ В ~ С => А ~ С – транзитивности.

То есть оно является отношением эквивалентности и используется для разбиения всех конечных множеств на классы эквивалентности. В один и тот же класс входят множества самой различной природы, общим для них является только свойство – равночисленности, то есть то, что все множества одного класса содержат одинаковое число элементов.

Например, множество {a, b, c, d} содержится в том же классе эквивалентности, что и множество сторон квадрата, множество времен года, множество ног собаки, множество букв в слове «хлеб».

Определение 3.2. Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных равномощных друг другу множеств.

Так, число 5 означает не пять пальцев руки, не пять уроков в день, пять рабочих дней недели, а то общее свойство, которым обладают все эти множества – их общую количественную характеристику.

Таким образом, в количественной теории натуральное число понимается как число элементов конечного множества.

Число нуль также имеет теоретико-множественное истолкование: оно ставится в соответствие пустому множеству: 0 = m (Æ).

Построение множества N₀:

Присоединим к пустому множеству произвольный элемент, получим новое множество A*, содержащее Æ в качестве подмножества: Æ Ì A* ; A* ~/ Æ.

Назовем численность А* числом «один» и обозначим cимволом 1, то есть т(А*) = 1.

Присоединим к множеству A* элемент, не содержащийся в нем, тогда получим множество A**, неравночисленное A* и содержащее A* в качестве подмножества: A* Ì A** ; A** ~/ A* .

Назовем численность множества A** числом «два» и обозначим символом «2», то есть т(А**) = 2.

Продолжая описанный процесс последовательного присоединения новых элементов к предыдущим множествам, получим бесконечную последовательность неравночисленных между собой множеств, находящихся в отношении включения.

Действительно, Æ Ì A* Ì A** Ì A*** Ì ....

Численности этих множеств составят расширенный ряд натураль- ных чисел, обозначаемых символами 0, 1, 2, 3, ... .

В дальнейшем расширенный ряд натуральных чисел будем обозначать символом N0 и называть множеством целых неотрицательных чисел.

В аксиоматической теории натуральное число рассматривается как элемент специального множества, представляющего собой бесконечный упорядоченный ряд, в котором обязательно существует первое число (первый элемент) и следующие за ним числа расположены в определенном порядке. Другими словами, аксиоматическая теория рассматривает натуральное число как число порядковое.

В количественной теории натуральное число понимается как количественная характеристика конечного множества.

Выясним, как же связаны между собой эти два различные смысла натурального числа. С этой целью рассмотрим процесс счета и предметов. Пусть, например, требуется сосчитать элементы множества А, представленного на рисунке.

Указывая на любой из элементов множества А, мы говорим «один». Указывая на другой, говорим «два», затем – «три», «четыре», «пять». На этом процесс счета заканчивается, поскольку использованы все элементы множества А. Закончив счет, мы говорим, что множество А содержит пять элементов, указывая тем самым на количественную характеристику этого множества.

Однако в процессе счета мы не только нашли количественную ха- рактеристику множества, но и упорядочили его. Про элемент, которому соответствует число один, можно сказать «первый», про элемент, которому соответствует число «два», – «второй», затем – «третий», «четвертый», «пятый».

Во втором случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и поэтому называется порядковым натуральным числом.

В общем случае, ведя счет, важно соблюдать следующие требования:

начинать счет можно с любого элемента множества А;
ни один элемент множества А не должен быть пропущен;
ни один элемент множества А не должен быть сосчитан дважды;
первым при счете называется число «один»;
числа, используемые при счете, следуют одно за другим без пропусков.

При соблюдении указанных требований после окончания счета между множеством А и некоторым подмножеством натурального ряда устанавливается взаимно однозначное соответствие. Для рассмотренного примера таким подмножеством натурального ряда является множество {1, 2, 3, 4, 5}, которое называют отрезком натурального ряда.

Определение 3.3. Отрезком натурального ряда N0 называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Например, отрезок N9 есть множество натуральных чисел, не пре- восходящих 9, то есть N9 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .

Определение 3.4. Счетом элементов непустого конечного множества А называется процесс установления взаимно однозначного соответствия между множеством А и отрезком натурального ряда Nа.

Задачи

Домашнее задание.

1. Назовите основные правила счета. Как находится результат при количественном и порядковом счете? Приведите примеры из учебников по математике для начальных классов.

2. Мальчик умеет считать, но не умеет складывать числа. У него было 9 шоколадок, ему подарили еще 5. Как ему узнать, сколько шоколадок у него стало? Дайте теоретическое обоснование этой задачи.

3. Мальчик умеет считать, но не умеет отнимать числа. У него было 9 карандашей, 5 карандашей он подарил сестре. Как ему узнать, сколько карандашей у него осталось? Дайте теоретическое обоснование этой задачи.

3. Мальчик забыл таблицу умножения, но умеет складывать. Каким способом он может найти произведение 17 ∙ 3?

4. При каком условии:

а) сумма двух натуральных чисел равна одному из них;

б) сумма двух целых неотрицательных чисел равна одному из них;

в) сумма двух целых неотрицательных чисел равна нулю?

6. При каком условии:

а) разность двух натуральных чисел есть число натуральное;

б) разность двух натуральных чисел есть целое неотрицательное число;

в) разность двух целых неотрицательных чисел равна уменьшаемому;

г) разность двух целых неотрицательных чисел равна вычитаемому?

7. При каком условии:

а) произведение двух натуральных чисел равно одному из множителей;