22.1. Самоиндукция. Индуктивность

Явление самоиндукции было открыто американским физиком Дж.Генри (1797–1878) в 1832 г. Оно является частным случаем явления электромагнитной индукции. Согласно закону электромагнитной индукции при любом изменении магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, в нем возникает согласно (21.2) ЭДС индукции

,

которая создает в контуре индукционный ток

                                                        ,                                              (22.1)

где R – сопротивление контура.

Если в контуре существует постоянный ток, то он создает в пространстве вокруг себя постоянное магнитное поле, т.е. магнитный поток, который пронизывает контур, будет также постоянным. Поэтому в этом случае ЭДС индукции в контуре не возникнет.

Поскольку магнитный поток согласно формуле (19.3), равен

                                                     ,                                           (22.2)

то Φ~B. В свою очередь B~I, где I – ток, который создает магнитное поле. Значит, Φ~I. Коэффициент пропорциональности между магнитным потоком Φ и током I, создающим этот поток, зависит от геометрических размеров и формы контура, а также от количества витков в нем и от магнитных свойств сердечника, находящегося в контуре. Этот коэффициент называется индуктивностью контура L, т.е.

                                                           .                                                 (22.3)

Единицей индуктивности в СИ является 1 генри (1 Гн). 1 Гн – индуктивность контура, в котором ток 1 А создает магнитный поток 1 Вб.

Из формулы (22.3) видно, что изменить магнитный поток, пронизывающий контур, можно изменяя силу тока или индуктивность (или то и другое одновременно). В соответствии с законом электромагнитной индукции изменяющийся магнитный поток создает в контуре ЭДС, которая в этом случае называется электродвижущей силой самоиндукции Ԑ_c. С учетом выражения (21.2)

,

а если L=const, то

                                                        .                                              (22.4)

Поскольку контур замкнут, ЭДС самоиндукции создает в контуре ток самоиндукции. Согласно правилу Ленца ток самоиндукции всегда направлен так, что он противодействует изменению основного тока, т.е., если основной ток возрастает, ток самоиндукции направлен против основного тока, если уменьшается – направления основного тока и тока самоиндукции совпадают.

22.2. Взаимная индукция

Взаимной индукцией называется явление возникновения ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом, близко расположенном контуре (рис.22.1).

Рис. 22.1

Это происходит потому, что магнитный поток Φ₁, создаваемый током I₁ в первом контуре, частично пронизывает другой контур, возбуждая в нем ЭДС индукции. Если Φ₁₂ – часть потока Φ₁, которая пронизывает другой контур, то Φ₁₂ ~ Φ₁, а Φ₁~I₁, значит, Φ₁₂~I₁. Тогда, если ввести коэффициент пропорциональности M₁₂ получим, что Φ₁₂=M₁₂·I₁. При изменении тока I₁ изменяется поток Φ₁ и в другом контуре возбуждается ЭДС индукции

                                              .                                     (22.5)

Аналогичным образом можно показать, что ЭДС индукции, которая возникает в первом контуре при изменении тока в другом,

                                              .                                     (22.6)

Чтобы показать, что коэффициенты M₁₂ и M₂₁ равны, рассчитаем работу, которую необходимо затратить на преодоление ЭДС взаимоиндукции, т.е. работу, необходимую для того, чтобы каждый из этих контуров удалить на бесконечность. Работа, затраченная на удаление первого контура, равна:

,

а на удаление второго –

.

Так как A₁=A₂, то M₁₂=M₂₁=M.

M называют коэффициентом взаимной индукции контуров. Он зависит от геометрической формы и размеров контуров, их взаимного расположения и магнитной проницаемости среды. Таким образом, явление взаимоиндукции препятствует образованию системы контуров с токами, также, как и ее разделению на элементы. Работа, затраченная на преодоление ЭДС взаимоиндукции двух контуров, равна

                                                         .                                               (22.7)

22.3. Работа силы Ампера

Если проводник с током движется в магнитном поле, то сила Ампера при этом будет выполнять работу. Для расчета этой работы рассмотрим контур тока, который состоит из источника ЭДС, двух параллельных проводников и подвижного участка длиной l, который находится в однородном магнитном поле с индукцией B.

Будем считать, что ток в контуре постоянный и равен I, а вектор магнитной индукции B перпендикулярен плоскости контура и направлен вниз (рис.22.2).

Рис. 22.2

На участок проводника l действует сила Ампера F=IBl, под действием которой он движется вправо. При перемещении из состояния 1 в состояние 2 проводник пройдет некоторое расстояние dx, при этом сила Ампера выполняет работу

.

Если учесть, что BdS=dΦ, то

.

Если перемещение проводника конечное, то выполняемая работа

                                        ,                              (22.8)

где Φ₁ – магнитный поток через контур в состоянии 1, а Φ₂ – в состоянии 2.

Из формулы (22.8) следует, что работа силы Ампера равна произведению силы тока и изменения магнитного потока, что пронизывает контур.

22.4. Энергия магнитного поля

Если к источнику тока, ЭДС которого Ԑ, а внутреннее сопротивление r подключить проводящий контур, сопротивление которого R, а индуктивность L, то ЭДС самоиндукции, возникающая в момент замыкания цепи и равная согласно формуле (22.4)  противодействует ЭДС источника тока.

По закону Ома значение силы тока в цепи

,

или

                                                 .                                       (22.9)

Если умножить обе части выражения (22.5) на I, то получим:

,

где ԐIdt=A – работа, которую выполняет источник тока за время dt; I²(R+r)dt=dQ – изменение внутренней энергии контура и источника тока (т.е. количество теплоты, выделяемое в цепи); LIdI=dW_M – изменение энергии магнитного поля контура с током.

Если сила тока в контуре увеличится от 0 до I, то энергия магнитного поля контура станет равной:

.

Таким образом, энергия магнитного поля контура с током равна

                                                         .                                             (22.10)

С учетом выражения (22.3) формула для расчета энергии магнитного поля контура с током может быть записана в виде:

                                                     .                                          (22.11)

Определим энергию двух контуров, индуктивности которых L₁ и L₂ с токами I₁ и I₂. Очевидно, что помимо энергии магнитного поля каждого контура, определяемой по формуле (22.10) имеет место энергия магнитного поля равная работе, затраченной на преодоление ЭДС взаимоиндукции при образовании системы контуров с токами. Тогда, с учетом формулы (22.7) полная энергия системы двух контуров с токами равна

                                               .                                    (22.12)

Энергия магнитного поля (как и энергия электрического поля) запасена в пространстве, где существует поле и ее значение можно выразить через характеристики этого поля. Так, например, энергия магнитного поля соленоида с током локализована внутри соленоида и равномерно распределена по его объему, так как поле однородно. Индукция магнитного поля соленоида с сердечником согласно формуле (19.13) равна:

                                                        ,                                             (22.13)

где μ – магнитная проницаемость материала сердечника; n=N/l – число витков на единицу длины. Полный магнитный поток (потокосцепление), который пронизывает все N витков соленоида, равен:

                                        .                            (22.14)

Подставив (22.14) в формулу (22.3), получим значение индуктивности соленоида

                                                       ,                                           (22.15)

где V=Sl объем пространства внутри соленоида. Выразив из (22.13) I и подставив его в выражение (22.3) с учетом (22.15), получим выражение для энергии магнитного поля внутри соленоида:

                                                        .                                            (22.16)

Отношение энергии магнитного поля к объему пространства, в котором поле локализовано, называют объемной плотностью энергии магнитного поля ω_M=W_M/V, а с учетом формулы (22.16)

                                                        .                                             (22.17)

Поскольку электрическое и магнитное поля являются частями единого электромагнитного поля, то плотность энергии электромагнитного поля

                                                   ,                                       (22.18)

где  – плотность энергии электрического поля.