26.1. Индуктивность в цепи переменного тока

В цепи переменного тока, которая содержит катушку индуктивности (рис.26.1) под воздействием приложенного напряжения проходит переменный ток

Рис. 26.1

                                                       ,                                             (26.1)

который согласно формуле (22.3) создает переменный магнитный поток

                                                      .                                             (26.2)

Этот поток в свою очередь создает в цепи ЭДС самоиндукции, мгновенное значение которой, согласно выражению (22.4) равно

.

Если активное сопротивление цепи равно нулю, то согласно закону Ома для полной цепи

,

где U – мгновенное значение напряжения источника переменного тока, включенного в цепь. Поэтому

                                                     .                                           (26.3)

Если в формулу (26.3) подставить значение силы тока (26.1), получим:

                                         ,                                (26.4)

где

                                                         –                                              (26.5)

амплитудное значение напряжения.

Поскольку

,

то выражение (26.4) для мгновенного значения напряжения примет вид:

                                                  .                                         (26.6)

Таким образом, колебания напряжения на катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, опережают по фазе силу тока в катушке на π/2 (рис.26.2).

Рис. 26.2

Из-за этого средняя мощность, которую потребляет катушка, равна нулю. Это обусловлено тем, что при увеличении силы тока энергия от источника «запасается» в катушке магнитным полем, а если сила тока и созданное им магнитное поле уменьшаются, энергия возвращается к источнику.

По закону Ома для участка цепи I₀=U₀/X_L. С учетом выражения (26.5) получим X_L=ωL. Величина

                                                                                                          (26.7)

называется индуктивным сопротивлением.

26.2. Емкость в цепи переменного тока

Если в цепь переменного тока с напряжением U= U₀sinωt включен конденсатор (рис.26.3),

Рис. 26.3

то мгновенное значение заряда на его обкладках равно q=CU=CU₀sinωt. В результате периодической перезарядки конденсатора в цепи возникает переменный электрический ток, мгновенное значение которого равно первой производной от заряда по времени:

                                        ,                               (26.8)

где

                                                           –                                                (26.9)

амплитудное значение силы тока в цепи. С учетом этого

                                                          ,                                              (26.10)

или

                                                      .                                          (26.11)

Из формулы (26.11) следует, что в цепи переменного тока с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе колебания напряжения на π/2 (рис. 26.4).

Из формулы (26.9) выразим отношение U₀/ I₀:

.

Величину

                                                                                                            (26.12)

называют емкостным сопротивлением.

По закону Ома , или .

Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и колебаниями напряжения в цепи переменного тока с конденсатором обусловлены тем, что напряжение на конденсаторе в любой момент времени определяется зарядом конденсатора, накопленным на его обкладках на предыдущей стадии колебаний. Так, например, в момент времени t₀=0 (рис. 26.4), когда напряжение начинает расти, заряд на обкладках конденсатора равен нулю и носители тока свободно движутся к обкладкам, поэтому ток максимален. Когда же напряжение приближается к максимальному значению, то заряд, накопленный на обкладках, препятствует притоку носителей к ним и сила тока уменьшается до нуля. Таким образом, конденсатор, включенный в цепь переменного тока, препятствует упорядоченному движению носителей тока, поскольку на его обкладках запасается заряд. В результате того, что колебания силы тока и колебания напряжения смещены по фазе на π/2, среднее значение мощности, которую потребляет от источника переменного тока конденсатор, равно нулю. В первую и третью четверти периода конденсатор заряжается, и энергия источника превращается в энергию электростатического поля конденсатора, где и запасается, а во вторую и четвертую четверти периода конденсатор разряжается, и энергия его электростатического поля возвращается к источнику тока. Потерь энергии при этом не происходит.

Следует заметить, что вышеизложенное справедливо для «идеальных» конденсатора и катушки индуктивности.

26.3. Закон Ома для цепи переменного тока

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из резистора сопротивлением R, конденсатора емкостью C и катушки индуктивностью L, соединенных последовательно (рис.26.5).

Рис. 26.5

Мгновенные значения силы тока на всех элементах этой цепи одинаковы, а мгновенное значение напряжения между концами цепи равно алгебраической сумме мгновенных значений напряжений на резисторе –U_R, конденсаторе – U_C и катушке индуктивности – U_L.

Метод векторных диаграмм

Для того чтобы определить амплитудные (или действующие) значения напряжения и силы тока, а также сдвиг фаз между ними удобно воспользоваться методом векторных диаграмм. В этом методе амплитудные или действующие значения всех напряжений и токов рассматриваются как векторы, вращающиеся с угловой скоростью ω, равной циклической частоте переменного тока, а их мгновенные значения определяются проекциями этих векторов на некоторую, обычно горизонтальную ось. Так как сила тока в цепи одинакова, то строить векторную диаграмму начнем с вектора I₀, модуль которого равен амплитудному значению силы тока в цепи. Направление этого вектора может быть любым. Направим его под углом α=ωt к горизонтали (рис.26.6).

Рис. 26.6

Колебания напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе с колебаниями силы тока, поэтому вектор U_0R, модуль которого равен U_0R=I₀R, совпадает по направлению с вектором I₀. Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и колебаниями напряжения на индуктивном сопротивлении составляет π/2, причем ток отстает по фазе от напряжения. Поэтому вектор U_0L, модуль которого равен U_0L= I₀ωL, нужно повернуть относительно вектора I₀ на угол π/2 против часовой стрелки. И наконец, вектор U_0C, модуль которого равен I₀/ωC, отстает по фазе от вектора I₀ на π/2, поэтому его нужно повернуть на этот угол по часовой стрелке.

Для того чтобы найти напряжение на зажимах цепи, надо сложить три вектора: .Удобно сначала сложить векторы U_0L и U_0C. Модуль этой суммы . Пусть , тогда

.

После этого складывают векторы U_0R и U'₀. Модуль вектора U₀ определяется по теореме Пифагора:

, или ,

откуда амплитудное значение силы тока в цепи:

                                              ,                                  (26.13)

где Z – полное сопротивление (импеданс) цепи, R – его активное сопротивление, ωL–1/ωC – реактивное сопротивление цепи переменного тока.

Таким образом, амплитудное (действующее) значение силы тока в цепи переменного тока равно отношению амплитудного (действующего) значения напряжения на концах этой цепи к его полному сопротивлению. Последнее утверждение называют законом Ома для цепи переменного тока.

Сдвиг фаз между силой тока и напряжением равен углу φ между векторами U₀ и I₀. В соответствии с рис.26.6 ток отстает от напряжения на угол φ, причем

                                                       .                                           (26.14)

Для того чтобы определить мгновенные значения напряжений на активном, емкостном и индуктивном сопротивлениях, необходимо спроектировать векторы U_0R, U_0L, U_0C  на прямую АВ. Тогда

                               ,                    (26.15)

                           ,               (26.16)

                            .                (26.17)

Отметим, что, если 1/ωC > ωL, то тогда

,

а

,

причем ток опережает напряжение по фазе на угол φ (рис.26.7).

Рис. 26.7

26.4. Резонанс в последовательной и параллельной цепи

Из выражения (26.13) закона Ома следует, что сила тока в последовательной RLC-цепи переменного тока (рис.26.5) зависит от частоты колебаний ω и достигает максимального значения, когда реактивное сопротивление цепи равно нулю. Частоту ω₀, при которой амплитуда тока достигает максимального значения, называют собственной частотой колебаний. Тогда , откуда

                                                          .                                               (26.18)

Рассмотренное явление называется резонансом напряжений. При резонансе, как следует из формулы (26.13), максимальное значение силы тока зависит только от активного сопротивления цепи:

.

При этом напряжение на конденсаторе

,

а напряжение на катушке индуктивности

,

откуда следует, что при резонансе напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности равны. Однако, поскольку эти напряжения смещены относительно друг друга на π, то полное напряжение на емкости и индуктивности равно нулю в любой момент времени, а напряжение источника тока при резонансе равно напряжению на активном сопротивлении. При этом колебания силы тока и напряжения совпадают по фазе, а мощность, потребляемая цепью от источника тока, максимальна. Мощность источника при резонансе выделяется только на активном сопротивлении R. Зависимость силы тока от его частоты в последовательной цепи переменного тока показана на рис.26.8.

Рис.26.8

Рассмотрим цепь переменного тока содержащую конденсатор емкостью С, параллельно соединенный с катушкой индуктивностью L и активным сопротивлением R (рис.26.9).

Рис. 26.9

Обе ветви цепи находятся под одинаковым напряжением U. Емкостное сопротивление X_C=1/ωC соединено параллельно с сопротивлением X=R+ωL, поэтому общее сопротивление цепи

                                              .                                   (26.19)

Рассмотрим случай, когда сопротивление катушки R ничтожно мало по сравнению с ее индуктивным сопротивлением R<<X_L. Тогда общее сопротивление равно:

                                      .                          (26.20)

При выполнении условия резонанса

; ,

а общее сопротивление равно:

                                          .                              (26.21)

Общий ток в цепи при этом

                                                                                                      (26.22)

минимален и равен активной составляющей тока (рис.26.10)

Рис. 26.10

Этот случай называют резонансом токов, так как силы токов в ветвях незначительно отличаются по модулю. При этом происходит обмен энергией между катушкой и конденсатором, а источник тока только компенсирует потери в активном сопротивлении.